2027학년도 수원대 대비 이과용 수학모의고사 6회 해설집

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📢 [실전모의고사] 2027학년도 수원대 대비 이과용 수학모의고사 6회 해설집 (제6회 · 기존 기출 수준 (난이도: 중)) (아카데미·선생님 전용 공식 검수 완결본)

QUESTIO ESSAY SERIES

2027학년도 수원대학교 교과논술 실전 대비

2027학년도 수원대 대비
이과용 수학모의고사 6회 해설집

수원대학교 (이과용 · 자연계열 A·B형 수학)

제6회 · 기존 기출 수준 (난이도: 중) · 수학 I·II 10문항 완벽 수록
단계별 모범답안 · 공식 채점기준 및 부분 배점(10점 만점) 수록

편저: QUESTIO 수리논술 입시연구소
감수: 아카데미·선생님 전용 QAH 품질검증위원회

2027 ACADEMIC YEAR EDITION

수학 I 지수법칙과 세제곱 대칭식 난이도: 중 (기출 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 탐구 9061 변형 | 성취기준: 12대수01-03]

[문제] 양수 \(a\)와 실수 \(x\)가 \(a^{2x}=3\)을 만족시킬 때, \(\dfrac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^{x}+a^{-x}}\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(A=a^x, B=a^{-x}\)라 하면 \(AB=1\)이고 \(A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)\)이다.
2) 따라서 주어진 식은 \(A^2-1+B^2=a^{2x}-1+a^{-2x}\)이다.
3) \(a^{2x}=3\)이므로 값은 \(3-1+\dfrac13=\dfrac73\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
세제곱의 합 인수분해 적용	4점
식을 \(a^{2x}-1+a^{-2x}\)로 정리	3점
값 \(\frac73\) 도출	3점

수학 I 로그의 밑의 변환 난이도: 중 (기출 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 탐구 9062 변형 | 성취기준: 12대수01-03]

[문제] \(\log_23=a,\ \log_35=b\)일 때, \(\log_6 30\)을 \(a, b\)로 나타내는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) 밑을 \(2\)로 변환하면 \(\log_630=\dfrac{\log_230}{\log_26}\)이다.
2) \(\log_25=\log_23\cdot\log_35=ab\)이므로 \(\log_230=1+a+ab\), \(\log_26=1+a\)이다.
3) 따라서 \(\log_630=\dfrac{1+a+ab}{1+a}\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
밑의 변환 공식 적용	3점
\(\log_25=ab\) 유도	4점
최종 식 도출	3점

수학 I 삼각함수 사이의 관계 난이도: 중 (기출 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 탐구 9063 변형 | 성취기준: 12대수02-01]

[문제] \(\sin\theta+\cos\theta=\dfrac12\)일 때, \(\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) 양변을 제곱하면 \(1+2\sin\theta\cos\theta=\dfrac14\)이므로 \(\sin\theta\cos\theta=-\dfrac38\)이다.
2) \(\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}=\dfrac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}\)이다.
3) 따라서 값은 \(-\dfrac83\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
제곱하여 \(\sin\theta\cos\theta\) 계산	4점
통분하여 \(\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}\)로 변형	3점
값 \(-\frac83\) 도출	3점

수학 I 사인법칙과 코사인법칙 난이도: 중 (기출 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.36 탐구 9064 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\sin A:\sin B:\sin C=2:3:4\)이고 둘레의 길이가 \(18\)일 때, 가장 큰 각의 코사인 값을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) 사인법칙에 의하여 \(a:b:c=2:3:4\)이므로 \(a=4, b=6, c=8\)이다.
2) 가장 큰 각은 가장 긴 변 \(c\)의 대각 \(C\)이다.
3) 코사인법칙에 의하여 \(\cos C=\dfrac{16+36-64}{2\cdot4\cdot6}=-\dfrac14\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
사인법칙으로 변의 비 결정	4점
가장 큰 각 판정	2점
\(\cos C=-\frac14\) 계산	4점

수학 I 등차수열의 성질과 합 난이도: 중 (기출 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.11 탐구 9065 변형 | 성취기준: 12대수03-04]

[문제] 공차가 양수인 등차수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_3+a_7=20,\ a_2a_8=64\)를 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}a_k\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(a_3+a_7=2a_5=20\)이므로 \(a_5=10\)이다. 공차를 \(d\)라 하면 \(a_2a_8=(10-3d)(10+3d)=100-9d^2=64\)이다.
2) \(d^2=4\)이고 \(d\gt0\)이므로 \(d=2\), \(a_1=a_5-4d=2\)이다.
3) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}a_k=\frac{10(2a_1+9d)}{2}=5\cdot22=110\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
등차중항으로 \(a_5=10\)	3점
\(d=2\), \(a_1=2\) 결정	4점
합 \(110\) 계산	3점

수학 II 함수의 극한과 미정계수 난이도: 중 (기출 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.28 탐구 9066 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2+ax+b}{x-2}=5\)일 때, 두 상수 \(a, b\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(x\to2\)일 때 분모 \(\to0\)이고 극한값이 존재하므로 분자 \(\to0\), 즉 \(4+2a+b=0\)이다.
2) \(b=-4-2a\)를 대입하면 \(x^2+ax-4-2a=(x-2)(x+2+a)\)이다.
3) 극한값은 \(4+a=5\)이므로 \(a=1, b=-6\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
분자 \(\to0\) 조건	4점
인수분해	3점
\(a=1, b=-6\)	3점

수학 II 무리식을 포함한 함수의 연속 난이도: 중 (기출 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.29 탐구 9067 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-04]

[문제] 함수 \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} & (x\ne1)\\ k & (x=1)\end{cases}\)가 \(x=1\)에서 연속일 때, 상수 \(k\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) 연속이려면 \(\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=f(1)=k\)이어야 한다.
2) 분자를 유리화하면 \(\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}\)이다.
3) 따라서 \(k=\dfrac14\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
연속 조건 서술	3점
유리화로 약분	4점
\(k=\frac14\)	3점

수학 II 미분계수의 정의 난이도: 중 (기출 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 9068 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02]

[문제] 함수 \(f(x)=x^3-2x\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(1+2h)-f(1-h)}{h}\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(\dfrac{f(1+2h)-f(1-h)}{h}=2\cdot\dfrac{f(1+2h)-f(1)}{2h}+\dfrac{f(1-h)-f(1)}{-h}\)로 변형한다.
2) 미분계수의 정의에 의하여 극한값은 \(2f'(1)+f'(1)=3f'(1)\)이다.
3) \(f'(x)=3x^2-2\), \(f'(1)=1\)이므로 값은 \(3\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
\(f(1)\)을 더하고 빼는 변형	4점
\(3f'(1)\)로 정리	3점
값 \(3\)	3점

수학 II 곡선 밖의 점에서 그은 접선 난이도: 중 (기출 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.11 탐구 9069 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05]

[문제] 원점에서 곡선 \(y=x^2+1\)에 그은 두 접선의 방정식을 구하고, 두 접선의 기울기의 곱을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) 접점을 \((t, t^2+1)\)이라 하면 접선은 \(y=2tx-t^2+1\)이다.
2) 원점을 지나므로 \(-t^2+1=0\), \(t=\pm1\)이다.
3) 접선은 \(y=2x, y=-2x\)이고 기울기의 곱은 \(-4\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
접선의 방정식 수립	4점
\(t=\pm1\)	3점
두 접선과 곱 \(-4\)	3점

수학 II 다항함수의 정적분 난이도: 중 (기출 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 9070 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

[문제] 정적분 \(\displaystyle\int_{-1}^{2}(3x^2-2x+1)\,dx\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) 부정적분 하나는 \(F(x)=x^3-x^2+x\)이다.
2) \(F(2)=6,\ F(-1)=-3\)이다.
3) 따라서 정적분의 값은 \(F(2)-F(-1)=9\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
부정적분 계산	4점
함숫값 대입	3점
값 \(9\)	3점

📝 [제6회 이과용 · 수학 1번 문항]

📝 [제6회 이과용 · 수학 2번 문항]

📝 [제6회 이과용 · 수학 3번 문항]

📝 [제6회 이과용 · 수학 4번 문항]

📝 [제6회 이과용 · 수학 5번 문항]

📝 [제6회 이과용 · 수학 6번 문항]

📝 [제6회 이과용 · 수학 7번 문항]

📝 [제6회 이과용 · 수학 8번 문항]

📝 [제6회 이과용 · 수학 9번 문항]

📝 [제6회 이과용 · 수학 10번 문항]